Задача
GEO-B1-M02-P019 Равные высоты
#19
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В треугольнике \(ABC\) высоты \(BH\) и \(CK\), опущенные на стороны \(AC\) и \(AB\), равны. Докажите, что \(AB=AC\).
Рассмотрите прямоугольные треугольники \(ABH\) и \(ACK\).
Треугольники \(ABH\) и \(ACK\) прямоугольные. У них \(BH=CK\) по условию и \(\angle BAH=\angle CAK\), потому что оба угла равны углу \(A\) исходного треугольника. Тогда третьи углы тоже равны: \(\angle ABH=\angle ACK\). Стороны \(BH\) и \(CK\) лежат между равными углами, поэтому по признаку ASA треугольники \(ABH\) и \(ACK\) равны. Следовательно, их гипотенузы равны: \(AB=AC\).
Задача показывает, как высоты превращаются в катеты прямоугольных треугольников.