Задача
GEO-B1-M02-P020 Отрезки через середину
#20
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Точка \(M\) — середина отрезка \(AB\). Через \(M\) проведена прямая, на которой по разные стороны от \(M\) выбраны точки \(C\) и \(D\) так, что \(MC=MD\). Докажите, что \(AC=BD\) и \(AD=BC\).
Используйте вертикальные углы при пересечении прямых \(AB\) и \(CD\).
Так как \(M\) — середина \(AB\), \(AM=BM\). Также \(MC=MD\). Углы \(AMC\) и \(BMD\) вертикальные, поэтому равны. По SAS \(\triangle AMC=\triangle BMD\), значит \(AC=BD\). Аналогично \(\angle AMD=\angle BMC\), и по SAS \(\triangle AMD=\triangle BMC\), поэтому \(AD=BC\).
Очень хорошая задача на две пары скрытых равных треугольников.