Задача
GEO-B1-M02-P021 Диагональ кайта
В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) известно, что \(AB=AD\) и \(CB=CD\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Докажите, что \(BO=DO\) и \(AC\perp BD\).
Сначала докажите, что \(AC\) — биссектриса угла \(A\), затем сравните треугольники \(ABO\) и \(ADO\).
Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(ADC\). У них \(AB=AD\), \(CB=CD\), \(AC\) общая, поэтому они равны по SSS. Следовательно, \(\angle BAC=\angle CAD\). Так как точка \(O\) лежит на \(AC\), имеем \(\angle BAO=\angle OAD\). В треугольниках \(ABO\) и \(ADO\): \(AB=AD\), \(AO\) общая, \(\angle BAO=\angle OAD\). По SAS эти треугольники равны. Значит \(BO=DO\) и \(\angle AOB=\angle AOD\). Углы \(AOB\) и \(AOD\) смежные, поэтому каждый равен \(90^\circ\). Следовательно, \(AC\perp BD\).
Уровень 4 за счёт двух последовательных применений равенства треугольников и вывода перпендикулярности.