Задача
GEO-B1-M03-P009 Доказать среднюю линию
#9
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\). Докажите, что \(MN\parallel BC\) и \(MN=\frac{1}{2}BC\).
Докажите подобие \(\triangle AMN\) и \(\triangle ABC\).
Так как \(M\) и \(N\) — середины, \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}\). Угол \(A\) общий. По признаку SAS треугольники \(AMN\) и \(ABC\) подобны с коэффициентом \(\frac{1}{2}\). Поэтому \(MN\) соответствует \(BC\), значит \(MN\parallel BC\) и \(MN=\frac{1}{2}BC\).
Доказательство средней линии через подобие подготавливает дальнейшие задачи на медианы.