Задача
GEO-B1-M03-P016 Медианы и отношение \(2:1\)
#16
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В треугольнике \(ABC\) медианы \(BM\) и \(CN\) пересекаются в точке \(G\). Докажите, что \(BG:GM=CG:GN=2:1\).
Возьмите середины \(BG\) и \(CG\), затем используйте средние линии.
Пусть \(P\) и \(Q\) — середины \(BG\) и \(CG\). Тогда \(PQ\parallel BC\) и \(PQ=\frac{1}{2}BC\). Так как \(M\) и \(N\) — середины \(AC\) и \(AB\), отрезок \(MN\) тоже параллелен \(BC\) и равен \(\frac{1}{2}BC\). Значит \(PQ\parallel MN\) и \(PQ=MN\), поэтому \(MNPQ\) — параллелограмм. Его диагонали \(MP\) и \(NQ\) пересекаются в точке \(G\) и делятся пополам. Поэтому \(GM=GP\), а так как \(P\) — середина \(BG\), \(BP=PG\). Следовательно, \(BG=2GM\). Аналогично \(CG=2GN\).
Доказательство можно считать мостом к более системной работе с медианами.