Задача
GEO-B1-M03-P019 Квадрат в треугольнике
В треугольник с основанием \(a\) и высотой к этому основанию \(h\) вписан квадрат так, что одна его сторона лежит на основании треугольника, а две верхние вершины лежат на боковых сторонах. Найдите сторону квадрата.
Сечение треугольника на высоте \(x\) от основания имеет длину \(a\left(1-\frac{x}{h}\right)\). Для квадрата эта длина равна \(x\).
Пусть сторона квадрата равна \(x\). Верхняя сторона квадрата параллельна основанию треугольника и находится на расстоянии \(x\) от основания. Малый треугольник над квадратом подобен исходному, его высота равна \(h-x\), поэтому длина верхней стороны квадрата равна \(a\cdot\frac{h-x}{h}\). Но эта длина равна \(x\). Получаем \(x=a\cdot\frac{h-x}{h}\), то есть \(xh=ah-ax\). Тогда \(x(a+h)=ah\), откуда \(x=\frac{ah}{a+h}\).
Уровень 4: нужно самостоятельно выбрать переменную и увидеть подобный верхний треугольник.