Задача
GEO-B1-M04-P007 Диагонали делятся пополам
#7
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
В четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(O\), причём \(AO=OC\) и \(BO=OD\). Докажите, что \(ABCD\) — параллелограмм, не ссылаясь на готовый признак.
Сравните треугольники \(AOB\) и \(COD\), затем \(AOD\) и \(COB\).
Треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны по двум сторонам и углу между ними: \(AO=OC\), \(BO=OD\), а углы \(AOB\) и \(COD\) вертикальные. Значит \(\angle ABO=\angle CDO\), откуда \(AB\parallel CD\). Аналогично треугольники \(AOD\) и \(COB\) равны, поэтому \(AD\parallel BC\). Обе пары противоположных сторон параллельны, значит \(ABCD\) — параллелограмм.
Полезно как доказательство самого признака, а не только как его применение.