#4 Четырёхугольники

Проведём диагональ \(AC\). Так как \(AB\parallel CD\), то \(\angle BAC=\angle ACD\). Так как \(AD\parallel BC\), то \(\angle DAC=\angle ACB\). Складывая равные части, получаем \(\angle A=\angle C\). Аналогично, проведя диагональ \(BD\), получаем \(\angle B=\angle D\).

Проведём \(AC\). Из \(AB\parallel CD\) получаем \(\angle BAC=\angle ACD\), а из \(AD\parallel BC\) получаем \(\angle BCA=\angle CAD\). Сторона \(AC\) общая. Значит \(\triangle ABC=\triangle CDA\) по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому \(AB=CD\) и \(BC=AD\).

Пусть \(ABCD\) — прямоугольник. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(DCB\). В них \(AB=CD\), потому что прямоугольник является параллелограммом, сторона \(BC\) общая, и углы \(ABC\) и \(DCB\) прямые. Значит треугольники равны, откуда \(AC=BD\).

В ромбе все стороны равны, значит \(AB=AD\) и \(BC=CD\). Сторона \(AC\) общая. Следовательно, \(\triangle ABC=\triangle ADC\) по трём сторонам. Поэтому \(\angle BAC=\angle CAD\) и \(\angle BCA=\angle ACD\). Диагональ \(AC\) делит углы \(A\) и \(C\) пополам.

По теореме о средней линии трапеции \(MN=\frac{AD+BC}{2}=\frac{17+9}{2}=13\).

Проведём \(AC\). Так как \(AB\parallel CD\), то \(\angle BAC=\angle ACD\). Также \(AB=CD\), а \(AC\) — общая сторона. Поэтому \(\triangle BAC=\triangle DCA\) по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \(\angle BCA=\angle CAD\), значит \(BC\parallel AD\). Вместе с \(AB\parallel CD\) это даёт параллелограмм.

Треугольники \(AOB\) и \(COD\) равны по двум сторонам и углу между ними: \(AO=OC\), \(BO=OD\), а углы \(AOB\) и \(COD\) вертикальные. Значит \(\angle ABO=\angle CDO\), откуда \(AB\parallel CD\). Аналогично треугольники \(AOD\) и \(COB\) равны, поэтому \(AD\parallel BC\). Обе пары противоположных сторон параллельны, значит \(ABCD\) — параллелограмм.

Пусть \(\angle A=90^\circ\) в параллелограмме \(ABCD\). Так как \(AD\parallel BC\), углы \(A\) и \(B\) являются внутренними односторонними, поэтому \(\angle A+\angle B=180^\circ\). Значит \(\angle B=90^\circ\). Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому \(\angle C=90^\circ\) и \(\angle D=90^\circ\). Все углы прямые, значит это прямоугольник.

В параллелограмме \(AB=CD\) и \(BC=AD\). По условию \(AB=BC\). Тогда \(AB=BC=CD=AD\). Все стороны равны, значит \(ABCD\) — ромб.

Пусть \(MN\) — средняя линия. Тогда \(14=\frac{AD+8}{2}\). Отсюда \(AD+8=28\), значит \(AD=20\).

Так как \(AB=CD\), трапеция равнобедренная, поэтому \(\angle DAB=\angle CDA\). Из \(AD\parallel BC\) следует \(\angle DAB+\angle ABC=180^\circ\). Заменяя \(\angle DAB\) равным углом \(\angle CDA\), получаем \(\angle ABC+\angle CDA=180^\circ\). Сумма противоположных углов равна \(180^\circ\), значит четырёхугольник \(ABCD\) циклический.

Имеем \(\angle A+\angle C=74^\circ+106^\circ=180^\circ\). В выпуклом четырёхугольнике, если сумма противоположных углов равна \(180^\circ\), то его вершины лежат на одной окружности. Следовательно, \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности.

В треугольнике \(ABC\) отрезок \(MN\) соединяет середины двух сторон, значит \(MN\parallel AC\) и \(MN=\frac{1}{2}AC\). В треугольнике \(CDA\) отрезок \(PQ\) также соединяет середины двух сторон, значит \(PQ\parallel AC\) и \(PQ=\frac{1}{2}AC\). Следовательно, \(MN\parallel PQ\) и \(MN=PQ\). Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то это параллелограмм. Значит \(MNPQ\) — параллелограмм.

По теореме о средней линии \(MN=PQ=\frac{1}{2}AC=\frac{11}{2}\), а \(NP=QM=\frac{1}{2}BD=\frac{15}{2}\). Тогда периметр равен \(2\cdot\frac{11}{2}+2\cdot\frac{15}{2}=11+15=26\).

Треугольники \(AOD\) и \(COB\) подобны: \(\angle AOD=\angle COB\) как вертикальные, а \(\angle ADO=\angle CBO\) из-за \(AD\parallel BC\). Поэтому \(\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{AD}{BC}=\frac{21}{14}=\frac{3}{2}\). Значит \(AO:OC=DO:OB=3:2\).

Так как \(MN\parallel BC\), то в треугольнике \(ABC\) прямая через середину \(M\) стороны \(AB\), параллельная \(BC\), пересекает \(AC\) в её середине. Значит \(P\) — середина \(AC\). Тогда \(MP\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \(MP=\frac{1}{2}BC\). Также \(PN\) — средняя линия треугольника \(ACD\), поэтому \(PN=\frac{1}{2}AD\). Следовательно, \(MP:PN=BC:AD\).

По условию \(\angle BAC=\angle CAD\). Так как \(AD\parallel BC\), то \(\angle CAD=\angle ACB\). Следовательно, \(\angle BAC=\angle ACB\), значит в треугольнике \(ABC\) стороны \(AB\) и \(BC\) равны. В параллелограмме равенство соседних сторон означает, что все стороны равны. Поэтому \(ABCD\) — ромб.

Из условий \(AO=OC\) и \(BO=OD\) следует, что диагонали делятся точкой пересечения пополам. Значит \(ABCD\) — параллелограмм. В параллелограмме с равными диагоналями все углы прямые: это доказано через равенство треугольников \(ABC\) и \(DCB\). Следовательно, \(ABCD\) — прямоугольник.

Угол \(\angle CDE\) образован лучами \(DC\) и \(DE\), а угол \(\angle CBE\) образован лучами \(BC\) и \(BE\). Оба угла смотрят на один и тот же отрезок \(CE\). Если две точки \(B\) и \(D\) видят отрезок \(CE\) под равными углами, то они лежат на одной окружности с точками \(C\) и \(E\). Следовательно, \(B,C,D,E\) лежат на одной окружности.

В треугольнике \(ABC\) проведён отрезок \(EP\parallel AB\), где \(E\) лежит на \(BC\), а \(P\) лежит на \(AC\). Поэтому \(\triangle CPE\sim\triangle CAB\). Из условия \(BE:EC=1:2\), значит \(CE:CB=2:3\). Следовательно, \(CP:CA=2:3\). Тогда \(AP:PC=(CA-CP):CP=1:2\).

Так как \(M\) — середина \(AB\) и \(MN\parallel BC\), то в треугольнике \(ABC\) точка \(P\) является серединой \(AC\), а \(MP=\frac{1}{2}BC\). Аналогично, в треугольнике \(ABD\) прямая через середину \(M\), параллельная \(AD\), пересекает \(BD\) в её середине \(Q\), и \(MQ=\frac{1}{2}AD\). При \(AD>BC\) точка \(Q\) лежит дальше от \(M\), чем \(P\), поэтому \(PQ=MQ-MP=\frac{AD}{2}-\frac{BC}{2}=\frac{AD-BC}{2}\).

Пусть \(AD=a\), \(BC=b\). Из подобия треугольников \(AOD\) и \(COB\) получаем \(DO:OB=a:b\), значит \(OB:DB=b:(a+b)\) и \(DO:DB=a:(a+b)\). В треугольнике \(BDA\) отрезок \(OX\parallel AD\), поэтому \(\frac{OX}{AD}=\frac{OB}{DB}=\frac{b}{a+b}\). Значит \(OX=\frac{ab}{a+b}\). В треугольнике \(DBC\) отрезок \(OY\parallel BC\), поэтому \(\frac{OY}{BC}=\frac{DO}{DB}=\frac{a}{a+b}\). Значит \(OY=\frac{ab}{a+b}\). Следовательно, \(OX=OY\). При \(a=12\), \(b=6\) получаем \(OX=OY=\frac{12\cdot6}{18}=4\), поэтому \(XY=8\).

В параллелограмме \(\angle A=\angle C\). Так как четырёхугольник циклический, противоположные углы дополняют друг друга до \(180^\circ\), значит \(\angle A+\angle C=180^\circ\). Но эти углы равны, поэтому каждый равен \(90^\circ\). Аналогично остальные углы также прямые. Следовательно, \(ABCD\) — прямоугольник.

В равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому треугольники \(DAB\) и \(ADC\) равны по двум сторонам и углу между ними: \(AD\) общая, \(AB=CD\), а углы при основании \(AD\) равны. Следовательно, \(BD=AC\). Так как диагонали трапеции пересекаются в отношении оснований, \(AO:OC=DO:OB=AD:BC=18:10=9:5\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) равны и разделены в одном и том же отношении \(9:5\), значит их большие части равны: \(AO=DO\). Ответ: \(AO:OC=9:5\).