Задача
GEO-B1-M04-P006 Равная и параллельная пара сторон
#6
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) известно, что \(AB\parallel CD\) и \(AB=CD\). Докажите, что \(ABCD\) — параллелограмм.
Проведите диагональ \(AC\) и докажите, что \(BC\parallel AD\).
Проведём \(AC\). Так как \(AB\parallel CD\), то \(\angle BAC=\angle ACD\). Также \(AB=CD\), а \(AC\) — общая сторона. Поэтому \(\triangle BAC=\triangle DCA\) по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \(\angle BCA=\angle CAD\), значит \(BC\parallel AD\). Вместе с \(AB\parallel CD\) это даёт параллелограмм.
Один из главных признаков параллелограмма; стоит добиваться аккуратного доказательства через треугольники.