Задача
GEO-B1-M04-P022 Параллель через пересечение диагоналей
В трапеции \(ABCD\) основания \(AD\parallel BC\), \(AD=12\), \(BC=6\). Диагонали пересекаются в точке \(O\). Через \(O\) проведена прямая, параллельная основаниям; она пересекает \(AB\) и \(CD\) в точках \(X\) и \(Y\). Докажите, что \(OX=OY\), и найдите \(XY\).
Используйте отношение \(DO:OB=AD:BC\), затем сравните треугольники \(BOX\) и \(BDA\), а также \(DOY\) и \(DBC\).
Пусть \(AD=a\), \(BC=b\). Из подобия треугольников \(AOD\) и \(COB\) получаем \(DO:OB=a:b\), значит \(OB:DB=b:(a+b)\) и \(DO:DB=a:(a+b)\). В треугольнике \(BDA\) отрезок \(OX\parallel AD\), поэтому \(\frac{OX}{AD}=\frac{OB}{DB}=\frac{b}{a+b}\). Значит \(OX=\frac{ab}{a+b}\). В треугольнике \(DBC\) отрезок \(OY\parallel BC\), поэтому \(\frac{OY}{BC}=\frac{DO}{DB}=\frac{a}{a+b}\). Значит \(OY=\frac{ab}{a+b}\). Следовательно, \(OX=OY\). При \(a=12\), \(b=6\) получаем \(OX=OY=\frac{12\cdot6}{18}=4\), поэтому \(XY=8\).
Хорошая задача на 2–3 идеи: диагонали трапеции, подобие, затем параллельные сечения.