Задача
GEO-B1-M04-P024 Равнобедренная трапеция и диагонали
В равнобедренной трапеции \(ABCD\) основания \(AD\parallel BC\), \(AD=18\), \(BC=10\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Докажите, что \(AO=DO\), и найдите \(AO:OC\).
Сначала докажите, что диагонали равнобедренной трапеции равны. Затем используйте отношение диагоналей в трапеции.
В равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому треугольники \(DAB\) и \(ADC\) равны по двум сторонам и углу между ними: \(AD\) общая, \(AB=CD\), а углы при основании \(AD\) равны. Следовательно, \(BD=AC\). Так как диагонали трапеции пересекаются в отношении оснований, \(AO:OC=DO:OB=AD:BC=18:10=9:5\). Диагонали \(AC\) и \(BD\) равны и разделены в одном и том же отношении \(9:5\), значит их большие части равны: \(AO=DO\). Ответ: \(AO:OC=9:5\).
Финальная задача модуля: требуется соединить равнобедренную трапецию, равенство диагоналей и подобие.