Задача
GEO-B1-M05-P015 Две высоты
#15
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В треугольнике \(ABC\) точка \(D\) — основание высоты из \(B\) на \(AC\), а точка \(E\) — основание высоты из \(C\) на \(AB\). Докажите, что \(B,C,D,E\) лежат на одной окружности.
Докажите, что \(\angle BDC=\angle BEC=90^\circ\).
Так как \(BD\perp AC\) и \(D\in AC\), получаем \(\angle BDC=90^\circ\). Так как \(CE\perp AB\) и \(E\in AB\), получаем \(\angle BEC=90^\circ\). Значит точки \(D\) и \(E\) видят отрезок \(BC\) под прямым углом. Следовательно, они лежат на окружности с диаметром \(BC\), то есть \(B,C,D,E\) цикличны.
Классический строительный блок для более сложных задач с высотами.