Задача
GEO-B1-M05-P027 Параллельность касательной и хорды
В треугольнике \(ABC\) касательная к описанной окружности в точке \(A\) пересекает прямую, проходящую через \(C\) параллельно \(AB\), в точке \(T\). Найдите необходимое и достаточное условие, при котором \(AT=CT\).
Используйте параллельность \(CT\parallel AB\), затем сравните углы при \(A\) и \(C\) в треугольнике \(ACT\).
Так как \(CT\parallel AB\), угол \(\angle ACT\) равен углу между \(AC\) и \(AB\), то есть \(\angle CAB\). По теореме о касательной и хорде \(\angle TAC=\angle ABC\). В треугольнике \(ACT\) равенство \(AT=CT\) эквивалентно равенству углов при основании: \(\angle ACT=\angle TAC\). Значит \(AT=CT\) тогда и только тогда, когда \(\angle CAB=\angle ABC\), то есть когда \(AC=BC\).
Сложная задача на “если и только если”: касательная и параллельная прямая переводят равенство отрезков в равенство углов исходного треугольника.