Задача
GEO-B1-M06-P013 Шесть равных треугольников
В треугольнике \(ABC\) медианы \(AD\), \(BE\), \(CF\) пересекаются в точке \(G\). Докажите, что шесть треугольников \(AGF\), \(BGF\), \(BGD\), \(CGD\), \(CGE\), \(AGE\) имеют равные площади.
Используйте, что медиана делит площадь пополам, и сравните половины.
Обозначим площади \(AGF\), \(BGF\), \(BGD\), \(CGD\), \(CGE\), \(AGE\) по порядку через \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6\). Так как \(F,D,E\) — середины сторон, получаем \(x_1=x_2\), \(x_3=x_4\), \(x_5=x_6\). Медиана \(AD\) делит весь треугольник пополам, поэтому \(x_1+x_2+x_3=x_4+x_5+x_6\). Медиана \(BE\) даёт \(x_1+x_2+x_6=x_3+x_4+x_5\). Подставляя попарные равенства, получаем \(x_1=x_5\) и \(x_1=x_3\). Значит все шесть площадей равны.
Можно разобрать на доске через буквенные обозначения площадей; это первая настоящая area chasing задача.