Задача
GEO-B1-M06-P019 Равные площади дают медиану
#19
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Точка \(P\) лежит внутри треугольника \(ABC\). Известно, что \(S_{PAB}=S_{PAC}\). Докажите, что прямая \(AP\) проходит через середину \(BC\).
У треугольников \(PAB\) и \(PAC\) общее основание \(AP\).
Треугольники \(PAB\) и \(PAC\) имеют общее основание \(AP\). Из равенства площадей следует, что расстояния от \(B\) и \(C\) до прямой \(AP\) равны. Так как точки \(B\) и \(C\) лежат по разные стороны от \(AP\), прямая \(AP\) проходит через середину \(BC\). Значит \(AP\) — медиана.
Это обратный ход к предыдущей задаче; он часто полезен в олимпиадах.