Задача
GEO-B1-M06-P021 Три равные площади
#21
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Точка \(P\) лежит внутри треугольника \(ABC\). Известно, что \(S_{PAB}=S_{PBC}=S_{PCA}\). Докажите, что \(P\) — точка пересечения медиан треугольника.
Из равенства двух площадей с общим основанием получите медиану.
Из равенства \(S_{PAB}=S_{PCA}\) следует, что прямая \(AP\) проходит через середину \(BC\), то есть \(AP\) — медиана. Из равенства \(S_{PAB}=S_{PBC}\) следует, что \(BP\) проходит через середину \(AC\), то есть \(BP\) — медиана. Следовательно, \(P\) является пересечением двух медиан, а значит точкой пересечения медиан треугольника.
Ключевая сильная идея: равные площади могут определить центр тяжести.