Задача
GEO-B1-M06-P023 Произведение площадей при пересечении диагоналей
#23
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали пересекаются в точке \(O\). Докажите, что \(S_{AOB}\cdot S_{COD}=S_{BOC}\cdot S_{DOA}\).
Запишите площадь каждого из четырёх треугольников через две стороны и синус угла между диагоналями.
Пусть угол между диагоналями равен \(\varphi\). Тогда \(S_{AOB}=\frac{1}{2}AO\cdot BO\sin\varphi\), \(S_{COD}=\frac{1}{2}CO\cdot DO\sin\varphi\). Аналогично \(S_{BOC}=\frac{1}{2}BO\cdot CO\sin\varphi\), \(S_{DOA}=\frac{1}{2}DO\cdot AO\sin\varphi\). Произведения левых и правых выражений одинаковы, значит требуемое равенство доказано.
Сильная, но очень полезная формула для четырёхугольников.