Задача
GEO-B1-M06-P027 Площадная форма теоремы Чевы
В треугольнике \(ABC\) прямые \(AD\), \(BE\), \(CF\) пересекаются в одной точке \(P\), где \(D\in BC\), \(E\in CA\), \(F\in AB\). Докажите, что \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1\).
Выразите каждое отношение отрезков через отношения площадей треугольников с вершиной \(P\).
Так как \(P,A,D\) лежат на одной прямой, треугольники \(ABP\) и \(PBD\) имеют высоты к этой прямой из точки \(B\), а треугольники \(ACP\) и \(PCD\) — высоты из точки \(C\). Из равенства долей на одной прямой следует \(\frac{BD}{DC}=\frac{S_{ABP}}{S_{ACP}}\). Аналогично \(\frac{CE}{EA}=\frac{S_{BCP}}{S_{ABP}}\) и \(\frac{AF}{FB}=\frac{S_{ACP}}{S_{BCP}}\). Перемножая, получаем \(1\).
Это сильная задача-заготовка для Book 2; здесь она дана как продвинутый пример area chasing.