Задача
GEO-B1-M06-P029 Третья медиана через площади
#29
★★★★★ Уровень 5 из 5
В треугольнике \(ABC\) медианы из \(A\) и \(B\) пересекаются в точке \(G\). Прямая \(CG\) пересекает \(AB\) в точке \(F\). Докажите, что \(AF=FB\).
Точка на медиане даёт две равные площади. Примените это к двум медианам.
Так как \(G\) лежит на медиане из \(A\), имеем \(S_{GAB}=S_{GAC}\). Так как \(G\) лежит на медиане из \(B\), имеем \(S_{GAB}=S_{GBC}\). Значит \(S_{GAC}=S_{GBC}\). Треугольники \(GAC\) и \(GBC\) имеют общее основание \(GC\), поэтому точки \(A\) и \(B\) находятся на равных расстояниях от прямой \(GC\). Следовательно, прямая \(GC\) проходит через середину \(AB\), то есть \(AF=FB\).
Красивое доказательство конкурентности медиан через площади.