Задача
GEO-B1-M07-P011 Средняя линия через построение
#11
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
В треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины \(AB\) и \(AC\). Докажите, что \(MN\parallel BC\), используя дополнительную точку на прямой \(MN\).
Продлите \(MN\) за \(N\) до точки \(P\) так, что \(NP=MN\).
Построим точку \(P\) на продолжении \(MN\) так, что \(NP=MN\). В треугольниках \(AMN\) и \(CNP\) имеем \(AN=NC\), \(MN=NP\), а углы при \(N\) вертикальные. Значит треугольники равны, поэтому \(AM=CP\) и \(AM\parallel CP\). Так как \(AM=MB\), получаем \(CP=MB\) и \(CP\parallel MB\), значит \(BMCP\) — параллелограмм. Следовательно, \(MP\parallel BC\), а значит \(MN\parallel BC\).
Это конструктивное доказательство теоремы о средней линии.