Задача
GEO-B1-M07-P021 Середины сторон четырёхугольника
#21
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) точки \(M,N,P,Q\) — середины сторон \(AB,BC,CD,DA\). Докажите, что \(MNPQ\) — параллелограмм, выбрав правильные вспомогательные линии.
Проведите диагонали \(AC\) и \(BD\).
Проведём \(AC\). В треугольнике \(ABC\) отрезок \(MN\) — средняя линия, значит \(MN\parallel AC\). В треугольнике \(CDA\) отрезок \(PQ\) — средняя линия, значит \(PQ\parallel AC\). Следовательно, \(MN\parallel PQ\). Аналогично, проведя \(BD\), получаем \(NP\parallel MQ\). Значит \(MNPQ\) — параллелограмм.
Диагональ — одна из самых естественных вспомогательных линий в четырёхугольнике.