Задача
GEO-B1-M07-P022 Средняя линия трапеции через диагональ
#22
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В трапеции \(ABCD\) основания \(AD\parallel BC\). Точки \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон \(AB\) и \(CD\). Докажите, что \(MN\parallel AD\), проведя вспомогательную диагональ.
Проведите диагональ \(AC\) и отметьте её середину.
Проведём \(AC\), пусть \(P\) — её середина. В треугольнике \(ABC\) отрезок \(MP\) — средняя линия, поэтому \(MP\parallel BC\). В треугольнике \(ACD\) отрезок \(PN\) — средняя линия, поэтому \(PN\parallel AD\). Так как \(AD\parallel BC\), прямые \(MP\) и \(PN\) совпадают. Значит \(M,P,N\) лежат на одной прямой, и \(MN\parallel AD\).
Показывает, как диагональ и дополнительная середина превращают трапецию в две задачи о средних линиях.