Задача
GEO-B2-M01-P005 Антипараллельная хорда
#5
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В треугольнике \(ABC\) точки \(D\) и \(E\) лежат соответственно на сторонах \(AB\) и \(AC\). Известно, что \(B,C,D,E\) лежат на одной окружности. Докажите, что \(\angle ADE\equiv\angle ACB\pmod{180^\circ}\) и \(\angle AED\equiv\angle ABC\pmod{180^\circ}\).
В окружности \(B,C,D,E\) сравните углы, опирающиеся на хорды \(BE\) и \(CD\).
Так как \(B,C,D,E\) цикличны, \(\angle BDE\equiv\angle BCE\pmod{180^\circ}\). Но \(BD\) лежит на прямой \(BA\), а \(CE\) лежит на прямой \(CA\), поэтому \(\angle ADE\equiv\angle ACB\pmod{180^\circ}\). Аналогично из \(\angle BED\equiv\angle BCD\) получаем \(\angle AED\equiv\angle ABC\pmod{180^\circ}\).
Это важный шаблон: циклическая четвёрка внутри угла даёт антипараллель.