Задача
GEO-B2-M01-P011 Две касательные к окружности
#11
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
К окружности, описанной около треугольника \(ABC\), где \(\angle BAC<90^\circ\), проведены касательные в точках \(B\) и \(C\), которые пересекаются в точке \(T\). Докажите, что меньший угол между касательными равен \(180^\circ-2\angle BAC\).
Соедините центр окружности с точками \(B\) и \(C\).
Пусть \(O\) — центр окружности. Тогда \(OB\perp TB\) и \(OC\perp TC\). Так как \(\angle BAC<90^\circ\), меньший центральный угол \(\angle BOC\), опирающийся на дугу \(BC\), равен \(2\angle BAC\). Меньший угол между касательными дополняет этот центральный угол до \(180^\circ\). Поэтому он равен \(180^\circ-2\angle BAC\).
В примерах важно различать меньший угол между касательными и внешний ориентированный угол.