Задача
GEO-B2-M01-P012 Угол при ортоцентре
#12
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В остроугольном треугольнике \(ABC\) высоты пересекаются в точке \(H\). Докажите, что \(\angle BHC=180^\circ-\angle BAC\).
Используйте \(BH\perp AC\) и \(CH\perp AB\).
Так как \(BH\perp AC\), угол между \(BH\) и \(AB\) равен \(90^\circ-\angle A\). Так как \(CH\perp AB\), угол между \(CH\) и \(AC\) также выражается через \(90^\circ\). В сумме вокруг вершины получаем \(\angle BHC=180^\circ-\angle BAC\). Иначе говоря, угол между двумя высотами дополняет угол между соответствующими сторонами до \(180^\circ\).
Это стандартный факт, который часто используется в задачах на окружности и высоты.