Задача
GEO-B2-M01-P013 Цикличность даёт подобие
#13
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В треугольнике \(ABC\) точки \(D\) и \(E\) лежат на \(AB\) и \(AC\). Известно, что \(B,C,D,E\) лежат на одной окружности. Докажите, что \(\triangle ADE\sim\triangle ACB\), и выведите равенство \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\).
Сначала докажите равенство двух пар углов, затем запишите пропорцию соответствующих сторон.
Из цикличности \(B,C,D,E\) получаем \(\angle ADE\equiv\angle ACB\) и \(\angle AED\equiv\angle ABC\). Следовательно, \(\triangle ADE\sim\triangle ACB\). Соответствие сторон даёт \(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\). Перемножая крест-накрест, получаем \(AD\cdot AB=AE\cdot AC\).
Это мягкий мост к степени точки, но решение остаётся угловым и через подобие.