Задача
GEO-B2-M01-P014 Касающиеся окружности и параллельные хорды
Две окружности касаются в точке \(A\). Две прямые через \(A\) пересекают первую окружность ещё в точках \(B\) и \(C\), а вторую — ещё в точках \(D\) и \(E\) соответственно. Докажите, что \(BC\parallel DE\).
Используйте общую касательную в \(A\) и теорему о касательной и хорде для обеих окружностей.
Пусть \(t\) — общая касательная в точке \(A\). Для первой окружности \(\angle(t,AB)\equiv\angle ACB\). Для второй окружности, поскольку \(AD\) лежит на той же прямой, что и \(AB\), имеем \(\angle(t,AD)\equiv\angle AED\). Значит \(\angle ACB\equiv\angle AED\). Так как \(A,C,E\) лежат на одной прямой, это означает, что прямые \(BC\) и \(DE\) образуют равные углы с прямой \(CE\). Следовательно, \(BC\parallel DE\).
Сильная, но чистая задача на касательные: никаких длин, только углы.