Задача
GEO-B2-M01-P015 Теорема Рейма
#15
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Две окружности пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Прямая через \(A\) пересекает первую окружность ещё в \(C\), вторую ещё в \(D\). Прямая через \(B\) пересекает первую окружность ещё в \(E\), вторую ещё в \(F\). Докажите, что \(CE\parallel DF\).
Сравните углы \(\angle(CE,EB)\) и \(\angle(DF,FB)\).
Так как \(A,B,C,E\) цикличны, \(\angle(CE,EB)\equiv\angle(CA,AB)\). Так как \(A,B,D,F\) цикличны, \(\angle(DF,FB)\equiv\angle(DA,AB)\). Но \(C,A,D\) лежат на одной прямой, значит \(\angle(CA,AB)\equiv\angle(DA,AB)\). Кроме того, \(E,B,F\) лежат на одной прямой. Следовательно, \(CE\) и \(DF\) образуют равные углы с одной прямой, поэтому \(CE\parallel DF\).
Это уже настоящая олимпиадная техника, но она полностью основана на углах.