Задача
GEO-B2-M01-P016 Две окружности на одной стороне
Точка \(D\) лежит на стороне \(BC\) треугольника \(ABC\). Рассмотрим окружности \((ABD)\) и \((ACD)\). Докажите, что угол между этими окружностями в точке \(D\) равен \(\angle BAC\) в ориентированной записи.
Проведите касательные к обеим окружностям в точке \(D\) и примените теорему о касательной и хорде.
Пусть \(t_1\) — касательная к \((ABD)\) в точке \(D\), а \(t_2\) — касательная к \((ACD)\) в точке \(D\). По теореме о касательной и хорде \(\angle(t_1,DB)\equiv\angle DAB\), а \(\angle(DC,t_2)\equiv\angle DAC\). Так как \(DB\) и \(DC\) лежат на одной прямой, угол между \(t_1\) и \(t_2\) равен сумме \(\angle DAB+\angle DAC=\angle BAC\) в ориентированной записи.
Очень полезная конфигурация: две окружности на частях треугольника часто дают угол \(A\).