Задача
GEO-B2-M02-P020 Доказать окружность по двум произведениям
#20
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Прямые \(l_1\) и \(l_2\) пересекаются в точке \(P\). На \(l_1\) выбраны точки \(A,B\), на \(l_2\) — точки \(C,D\), причём \(P\) не лежит между точками каждой пары. Если \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\), докажите, что \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности.
Это обратный признак степени точки, но нужно внимательно использовать расположение точек.
Проведём окружность через \(A,B,C\). Пусть она второй раз пересекает прямую \(l_2\) в точке \(D'\), расположенной на том же луче от \(P\), что и \(D\). По теореме о секущих \(PA\cdot PB=PC\cdot PD'\). Сравнивая с условием, получаем \(PD'=PD\), значит \(D'=D\). Следовательно, \(A,B,C,D\) лежат на одной окружности.
Более взрослая формулировка обратного признака, без треугольной подсказки.