Задача
GEO-B2-M03-P005 Равные касательные и общая хорда
#5
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Из точки \(P\), лежащей вне обеих окружностей, проведены касательные \(PT_1\) и \(PT_2\) к этим окружностям. Если \(PT_1=PT_2\), докажите, что \(P,A,B\) лежат на одной прямой.
Равные касательные означают равные степени.
Степень точки \(P\) относительно \(\omega_1\) равна \(PT_1^2\), а относительно \(\omega_2\) равна \(PT_2^2\). Так как \(PT_1=PT_2\), степени равны. Значит \(P\) лежит на радикальной оси окружностей. Они пересекаются в \(A\) и \(B\), поэтому радикальная ось — прямая \(AB\). Следовательно, \(P,A,B\) коллинеарны.
Одна из главных задач модуля: коллинеарность через равные степени.