Задача
GEO-B2-M03-P006 Равные произведения
#6
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
К окружности \(\omega_1\) из точки \(P\) проведена секущая \(PAB\), а к окружности \(\omega_2\) — секущая \(PCD\). Известно, что \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\). Докажите, что \(P\) лежит на радикальной оси \(\omega_1\) и \(\omega_2\).
Каждое произведение — это степень точки \(P\) относительно соответствующей окружности.
Произведение \(PA\cdot PB\) равно степени точки \(P\) относительно \(\omega_1\). Произведение \(PC\cdot PD\) равно степени точки \(P\) относительно \(\omega_2\). По условию эти степени равны, значит \(P\) лежит на радикальной оси двух окружностей.
Задача тренирует распознавание скрытой радикальной оси без общей хорды.