Задача
GEO-B2-M03-P009 Две точки равных касательных
#9
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Две окружности пересекаются в точках \(A\) и \(B\). Точки \(P\) и \(Q\) лежат вне обеих окружностей. Из каждой из точек \(P,Q\) касательные к двум окружностям имеют равные длины. Докажите, что \(P,Q,A,B\) лежат на одной прямой.
Докажите, что и \(P\), и \(Q\) лежат на радикальной оси этих окружностей.
Для точки \(P\) равенство касательных означает равенство степеней относительно двух окружностей, значит \(P\) лежит на их радикальной оси. Аналогично \(Q\) лежит на той же радикальной оси. Так как окружности пересекаются в \(A\) и \(B\), радикальная ось — прямая \(AB\). Следовательно, \(P,Q,A,B\) коллинеарны.
Задача учит доказывать коллинеарность сразу для нескольких точек через один и тот же объект.