Задача
GEO-B2-M03-P010 Любые секущие из точки радикальной оси
#10
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Точка \(P\) лежит на радикальной оси окружностей \(\omega_1\) и \(\omega_2\). Через \(P\) проведены секущие \(PAB\) к \(\omega_1\) и \(PCD\) к \(\omega_2\). Докажите, что \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\).
На радикальной оси степени точки относительно двух окружностей равны.
Так как \(P\) лежит на радикальной оси, \(\operatorname{Pow}_{\omega_1}(P)=\operatorname{Pow}_{\omega_2}(P)\). Но \(\operatorname{Pow}_{\omega_1}(P)=PA\cdot PB\), а \(\operatorname{Pow}_{\omega_2}(P)=PC\cdot PD\). Поэтому \(PA\cdot PB=PC\cdot PD\).
Обратная к предыдущей задача: сначала радикальная ось, затем произведения.