Задача
GEO-B2-M03-P012 Перпендикулярность линии центров
#12
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Докажите, что радикальная ось двух неконцентрических окружностей перпендикулярна прямой, соединяющей их центры.
Используйте формулу степени \(XO^2-r^2\).
Пусть центры окружностей \(O_1,O_2\), радиусы \(r_1,r_2\). Для точки \(X\) радикальной оси имеем \(XO_1^2-r_1^2=XO_2^2-r_2^2\), то есть \(XO_1^2-XO_2^2=r_1^2-r_2^2\). Множество точек с постоянной разностью квадратов расстояний до \(O_1\) и \(O_2\) является прямой, перпендикулярной \(O_1O_2\). Следовательно, радикальная ось перпендикулярна линии центров.
Это доказательство стоит проговорить медленно: оно объясняет, почему радикальная ось — прямая.