Задача
GEO-B2-M03-P013 Третья общая хорда
Окружности \(\omega_1\) и \(\omega_2\) пересекаются в \(A,B\), окружности \(\omega_2\) и \(\omega_3\) — в \(C,D\). Прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(R\). Если окружности \(\omega_1\) и \(\omega_3\) пересекаются в \(E,F\), докажите, что \(R,E,F\) лежат на одной прямой.
Прямые \(AB\), \(CD\), \(EF\) — радикальные оси соответствующих пар окружностей.
Прямая \(AB\) — радикальная ось \(\omega_1\) и \(\omega_2\), а \(CD\) — радикальная ось \(\omega_2\) и \(\omega_3\). Их пересечение \(R\) является радикальным центром трёх окружностей. Поэтому \(R\) лежит на радикальной оси \(\omega_1\) и \(\omega_3\). Так как эти окружности пересекаются в \(E,F\), их радикальная ось — прямая \(EF\). Следовательно, \(R,E,F\) коллинеарны.
Сильная, но очень чистая задача на радикальный центр.