Задача
GEO-B2-M03-P018 Построить радикальную ось по двум точкам
#18
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Две непересекающиеся окружности имеют центры \(O_1,O_2\). Точки \(P\) и \(Q\) таковы, что из каждой из них касательные к двум окружностям имеют равные длины. Докажите, что \(PQ\) — радикальная ось этих окружностей и \(PQ\perp O_1O_2\).
Сначала докажите, что \(P\) и \(Q\) лежат на радикальной оси.
Равенство касательных из точки \(P\) означает равенство степеней \(P\) относительно двух окружностей, значит \(P\) лежит на радикальной оси. Аналогично \(Q\) лежит на этой же оси. Поэтому прямая \(PQ\) и есть радикальная ось. Радикальная ось двух неконцентрических окружностей перпендикулярна линии центров, следовательно \(PQ\perp O_1O_2\).
Задача показывает, как найти радикальную ось, даже когда общей хорды нет.