Задача
GEO-B2-M03-P019 Радикальный центр из произведений
Через точку \(R\) проведены секущие к трём окружностям \(\omega_1,\omega_2,\omega_3\). Они дают произведения \(RA_1\cdot RB_1\), \(RA_2\cdot RB_2\), \(RA_3\cdot RB_3\). Если эти три произведения равны, докажите, что все три радикальные оси попарных пар окружностей проходят через \(R\).
Каждое произведение — степень точки \(R\) относительно соответствующей окружности.
Произведение \(RA_i\cdot RB_i\) равно степени точки \(R\) относительно окружности \(\omega_i\). По условию все три степени равны. Значит \(R\) имеет равные степени относительно \(\omega_1\) и \(\omega_2\), относительно \(\omega_2\) и \(\omega_3\), а также относительно \(\omega_1\) и \(\omega_3\). Следовательно, \(R\) лежит на всех трёх радикальных осях.
Сильная алгебраическая форма радикального центра.