Задача
GEO-B2-M04-P014 Признак трапеции через диагонали
#14
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В четырёхугольнике \(ABCD\) диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\). Известно, что \(\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}\). Докажите, что \(AD \parallel BC\).
Докажите подобие треугольников \(AOD\) и \(COB\).
У треугольников \(AOD\) и \(COB\) углы при \(O\) вертикальные. По условию \(\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}\), то есть стороны, прилежащие к этим углам, пропорциональны. Следовательно, \(\triangle AOD \sim \triangle COB\). Тогда \(\angle DAO=\angle BCO\). Эти углы являются накрест лежащими при прямых \(AD\) и \(BC\), значит, \(AD \parallel BC\).
Это уже олимпиадный ход: доказать параллельность через отношение частей диагоналей.