Задача
GEO-B2-M04-P015 Точка на параллельном образе
Прямые \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\), причём \(AB \parallel CD\). Точка \(X\) лежит на \(AB\). Прямая \(OX\) пересекает \(CD\) в точке \(Y\). Докажите, что \(\frac{OX}{OY}=\frac{OA}{OC}\).
Гомотетия с центром \(O\), переводящая \(AB\) в \(CD\), переводит каждую точку первого отрезка в точку второго.
Из \(AB \parallel CD\) следует \(\triangle OAB \sim \triangle OCD\), поэтому \(O\) - центр гомотетии, переводящей \(AB\) в \(CD\), а коэффициент равен \(\frac{OC}{OA}\). Образ точки \(X\) при этой гомотетии лежит одновременно на прямой \(OX\) и на прямой \(CD\), то есть это точка \(Y\). Следовательно, \(\frac{OY}{OX}=\frac{OC}{OA}\), откуда \(\frac{OX}{OY}=\frac{OA}{OC}\).
Задача важна: ученик должен увидеть, что гомотетия переводит весь отрезок, а не только его концы.