Задача
GEO-B2-M04-P021 Две общие касательные
Две непересекающиеся окружности имеют центры \(O_1\) и \(O_2\). Их внешние общие касательные пересекаются в точке \(H\). Докажите, что \(H,O_1,O_2\) лежат на одной прямой.
Из точки \(H\) к каждой окружности проведены две касательные. Сравните прямоугольные треугольники с радиусами к точкам касания.
Пусть внешние касательные касаются первой окружности в \(A_1,B_1\), а второй - в \(A_2,B_2\), причём \(A_1,A_2,H\) лежат на одной касательной, \(B_1,B_2,H\) - на другой. Радиусы к точкам касания перпендикулярны касательным, поэтому треугольники \(HO_1A_1\) и \(HO_2A_2\) прямоугольные и имеют общий угол при \(H\). Следовательно, они подобны. Значит, \(\frac{HO_1}{HO_2}=\frac{O_1A_1}{O_2A_2}\). Та же гомотетия с центром \(H\) переводит радиус первой окружности к касательной в соответствующий радиус второй. Поэтому она переводит первую окружность во вторую, а центр \(O_1\) - в \(O_2\). Тогда \(H,O_1,O_2\) коллинеарны.
Сильная задача: внешние касательные естественно приводят к внешнему центру гомотетии.