Задача
GEO-B2-M04-P022 Микелева конфигурация как спиральный намёк
Точки \(B,A,D\) лежат на одной прямой, точки \(C,A,E\) лежат на другой прямой. Окружности \((ABC)\) и \((ADE)\) пересекаются второй раз в точке \(M\). Докажите, что если \(MB=MD\), то \(MC=ME\).
Сравните треугольники \(MBC\) и \(MDE\): один угол уже равен, а ещё используйте углы, опирающиеся на прямые через \(A\).
Из цикличности \(A,B,C,M\) имеем \(\angle MBC=\angle MAC\). Из цикличности \(A,D,E,M\) имеем \(\angle MDE=\angle MAE\). Так как \(A,C,E\) коллинеарны, \(\angle MAC=\angle MAE\), значит, \(\angle MBC=\angle MDE\). Также по задаче из предыдущей конфигурации \(\angle BMC=\angle DME\). Следовательно, \(\triangle MBC \sim \triangle MDE\). По условию \(MB=MD\), коэффициент подобия равен \(1\), поэтому \(MC=ME\).
Это сильная подготовительная задача: фактически ученик видит спиральное подобие с центром \(M\).