Задача
GEO-B2-M05-P007 Образ прямой
#7
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Прямая \(l\) не проходит через \(O\). Пусть \(H\) - основание перпендикуляра из \(O\) на \(l\), а \(H'\) - образ \(H\). Докажите, что образ \(l\) лежит на окружности с диаметром \(OH'\).
Для \(P\in l\) сравните треугольники \(OPH\) и \(OH'P'\).
Пусть \(P'\) - образ точки \(P\). Так как \(OP\cdot OP'=OH\cdot OH'=R^2\), имеем \(\frac{OP}{OH'}=\frac{OH}{OP'}\). Угол при \(O\) общий, значит, \(\triangle OPH\sim\triangle OH'P'\). Из \(\angle OHP=90^\circ\) следует \(\angle OP'H'=90^\circ\). Поэтому \(P'\) лежит на окружности с диаметром \(OH'\).
Ключевая лемма модуля.