#5 Инверсия I: первое знакомство

Имеем \(OA \cdot OA'=8^2=64\). Тогда \(5\cdot OA'=64\), значит, \(OA'=\frac{64}{5}\).

Для образа \(P'\) выполнено \(OP\cdot OP'=R^2\). Если \(OP=R\), то \(R\cdot OP'=R^2\), значит, \(OP'=R=OP\). Точка \(P'\) лежит на луче \(OP\), поэтому \(P'=P\).

Получаем \(R^2=4\cdot 25=100\), поэтому \(R=10\). Так как точки лежат на одном луче, условие инверсии выполнено полностью.

Если \(P\) лежит на окружности, то \(OP=3\). Тогда \(3\cdot OP'=144\), откуда \(OP'=48\). Образ - окружность с центром \(O\) и радиусом \(48\).

Если \(P\) лежит на прямой через \(O\), то луч \(OP\) лежит на той же прямой. Поэтому \(P'\) тоже лежит на этой прямой. Так происходит для любой точки, а инверсия обратна сама себе, значит, вся прямая переходит в себя.

Имеем \(R^2=7\cdot 28=196\), следовательно, \(R=14\). Инверсия с центром \(O\) и радиусом \(14\) переводит эти точки друг в друга.

Пусть \(P'\) - образ точки \(P\). Так как \(OP\cdot OP'=OH\cdot OH'=R^2\), имеем \(\frac{OP}{OH'}=\frac{OH}{OP'}\). Угол при \(O\) общий, значит, \(\triangle OPH\sim\triangle OH'P'\). Из \(\angle OHP=90^\circ\) следует \(\angle OP'H'=90^\circ\). Поэтому \(P'\) лежит на окружности с диаметром \(OH'\).

Здесь \(OH=5\), поэтому \(OH'=\frac{100}{5}=20\). Образ прямой - окружность с диаметром \(OH'\), значит, её радиус равен \(10\).

Так как \(\omega\) проходит через \(O\), её образ - прямая, не проходящая через \(O\). Все точки \(A',B',C'\) лежат на этом образе, значит, они коллинеарны.

Прямая, не проходящая через центр, при инверсии переходит в окружность через центр. Значит, прообразы точек \(A',B',C'\) лежат на одной окружности с точкой \(O\). Поэтому \(O,A,B,C\) цикличны.

Окружность проходит через \(O\), поэтому её образ - прямая. Для \(Q'\) имеем \(OQ\cdot OQ'=36\), значит, \(OQ'=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}\). Образная прямая проходит через \(Q'\) перпендикулярно \(OQ\), поэтому расстояние от \(O\) до неё равно \(\frac{9}{2}\).

Так как \(l\) касается окружности инверсии в \(T\), имеем \(OT\perp l\) и \(OT=R\). Значит, \(T\) неподвижна. По лемме об образе прямой образ \(l\) - окружность с диаметром \(OT'\), то есть с диаметром \(OT\).

Точка \(P\) не является центром инверсии, поэтому угол между кривыми сохраняется. Следовательно, угол между образами в \(P'\) равен исходному углу \(40^\circ\).

В точке \(T\) угол между окружностями равен \(0^\circ\). Инверсия сохраняет углы в точках, отличных от центра, значит, угол между образами в \(T'\) тоже равен \(0^\circ\). Поэтому образы касаются.

Обе окружности проходят через центр инверсии, поэтому обе переходят в прямые. Общая точка \(A\) переходит в \(A'\), значит, \(A'\) лежит на обеих образных прямых. Следовательно, эти прямые пересекаются в \(A'\).

Ортогональность даёт \(OC^2=R^2+r^2\). Для секущей \(OAB\) по степени точки \(O\) относительно \(\omega\): \(OA\cdot OB=OC^2-r^2=R^2\). Значит, точки \(A\) и \(B\) взаимно обратны. Любая секущая через \(O\) переставляет точки окружности попарно, поэтому \(\omega\) переходит сама в себя.

Точка \(Q\) переходит в \(Q'\), где \(OQ\cdot OQ'=R^2\). Так как \(OQ=2r\), имеем \(OQ'=\frac{R^2}{2r}\). Окружность через \(O\) переходит в прямую; в этой конфигурации она проходит через \(Q'\) перпендикулярно \(OC\). Поэтому расстояние от \(O\) до образной прямой равно \(\frac{R^2}{2r}\).

Так как \(\omega\) проходит через центр инверсии, её образ - прямая. Точка \(A\) лежит на \(\omega\), а её образ по условию - \(B\). Следовательно, образная прямая проходит через \(B\).

Окружность через \(O\) переходит в прямую, перпендикулярную линии, соединяющей \(O\) с её центром. Если две окружности касаются в \(O\), их центры лежат на одной прямой, перпендикулярной общей касательной. Поэтому две образные прямые перпендикулярны одной и той же прямой. Значит, они параллельны.

Образы \(l\) и \(m\) - окружности через \(O\). Так как \(P\in l\cap m\), точка \(P'\) лежит на обеих образных окружностях. Инверсия сохраняет угол в точке \(P\ne O\), поэтому угол между окружностями в \(P'\) равен углу между прямыми \(l\) и \(m\).

Чтобы окружность была неподвижной, для каждой секущей через \(O\) произведение расстояний до точек пересечения должно равняться \(R^2\). Это произведение равно степени точки: \(OC^2-r^2=13^2-5^2=169-25=144\). Значит, \(R=12\).

В точке \(T\) угол между \(l\) и \(\omega\) равен \(0^\circ\). Так как \(T\ne O\), инверсия сохраняет этот угол. Поэтому угол между образами в \(T'\) тоже равен \(0^\circ\), то есть образ \(l\) касается образа \(\omega\).

Так как обе окружности проходят через \(O\), их образы - прямые. Точка \(A\) переходит в \(A'\), и обе образные прямые проходят через \(A'\). Инверсия сохраняет угол между кривыми в точке \(A\ne O\), поэтому угол между образными прямыми равен исходному углу между окружностями.

Окружности \(\omega_1,\omega_2,\omega_3\) проходят через центр инверсии, поэтому их образы - три прямые \(l_1,l_2,l_3\). Точка \(A\) лежит на \(\omega_1\) и \(\omega_2\), значит, \(A'\) лежит на \(l_1\) и \(l_2\). Аналогично \(B'=l_2\cap l_3\), \(C'=l_3\cap l_1\). Значит, конфигурация трёх окружностей через \(O\) превращается в треугольник, образованный тремя прямыми.