Задача
GEO-B2-M05-P017 Формула для окружности через центр
#17
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Окружность \(\omega\) проходит через \(O\), имеет центр \(C\) и радиус \(r\). Инверсия имеет радиус \(R\). Докажите, что образ \(\omega\) - прямая, перпендикулярная \(OC\), на расстоянии \(\frac{R^2}{2r}\) от \(O\).
Возьмите точку \(Q\) окружности на луче \(OC\), отличную от \(O\). Тогда \(OQ=2r\).
Точка \(Q\) переходит в \(Q'\), где \(OQ\cdot OQ'=R^2\). Так как \(OQ=2r\), имеем \(OQ'=\frac{R^2}{2r}\). Окружность через \(O\) переходит в прямую; в этой конфигурации она проходит через \(Q'\) перпендикулярно \(OC\). Поэтому расстояние от \(O\) до образной прямой равно \(\frac{R^2}{2r}\).
Формула полезна для быстрых вычислений.