Задача
GEO-B2-M05-P016 Ортогональная окружность
#16
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Окружность \(\omega\) с центром \(C\) и радиусом \(r\) ортогональна окружности инверсии с центром \(O\) и радиусом \(R\). Докажите, что \(\omega\) переходит сама в себя.
Проведите секущую через \(O\), пересекающую \(\omega\) в \(A\) и \(B\), и найдите \(OA\cdot OB\).
Ортогональность даёт \(OC^2=R^2+r^2\). Для секущей \(OAB\) по степени точки \(O\) относительно \(\omega\): \(OA\cdot OB=OC^2-r^2=R^2\). Значит, точки \(A\) и \(B\) взаимно обратны. Любая секущая через \(O\) переставляет точки окружности попарно, поэтому \(\omega\) переходит сама в себя.
Сильная связка инверсии и степени точки.