Задача
GEO-B2-M07-P011 Чева через площади
#11
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Точка \(P\) внутри треугольника \(ABC\). Прямые \(AP\), \(BP\), \(CP\) пересекают стороны в \(D,E,F\). Докажите, что \(\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1\).
Обозначьте три малые площади около точки \(P\).
Пусть \(S_A=[PBC]\), \(S_B=[PCA]\), \(S_C=[PAB]\). Тогда \(\frac{BD}{DC}=\frac{S_C}{S_B}\), \(\frac{CE}{EA}=\frac{S_A}{S_C}\), \(\frac{AF}{FB}=\frac{S_B}{S_A}\). При перемножении всё сокращается, и получается \(1\).
Задача связывает текущий модуль с предыдущим.