Задача
GEO-B2-M08-P014 Если две окружности уже пересеклись
#14
★★★★☆ Уровень 4 из 5
В четырёхугольнике \(ABCD\) точки \(E=AB\cap CD\), \(F=AD\cap BC\). Окружности \((ABF)\) и \((BCE)\) пересекаются в \(B\) и \(M\). Докажите, что \(M\in (CDF)\) и \(M\in (DAE)\).
Это теорема Микеля для четырёх прямых \(AB,BC,CD,DA\).
Прямые \(AB,BC,CD,DA\) образуют полный четырёхугольник. Две его окружности \((ABF)\) и \((BCE)\) пересекаются второй раз в \(M\). По теореме Микеля эта же точка лежит на двух остальных окружностях полного четырёхугольника: \((CDF)\) и \((DAE)\).
Задача учит распознавать теорему в обычном четырёхугольнике.