Задача
GEO-B2-M09-P002 Окружность с диаметром
#2
★☆☆☆☆ Уровень 1 из 5
Пусть \(A(-1,0)\), \(B(1,0)\), \(P(x,y)\), причём \(P\ne A,B\). Докажите, что \(AP\perp BP\) тогда и только тогда, когда \(x^2+y^2=1\).
Запишите векторы \(\overrightarrow{PA}\) и \(\overrightarrow{PB}\).
\(\overrightarrow{PA}=(-1-x,-y)\), \(\overrightarrow{PB}=(1-x,-y)\). Их скалярное произведение равно \((-1-x)(1-x)+y^2=x^2+y^2-1\). Перпендикулярность равносильна нулю этого выражения, то есть \(x^2+y^2=1\).
Это координатная версия теоремы о вписанном угле, опирающемся на диаметр.