Задача
GEO-B2-M09-P021 Векторная формула ортоцентра
В треугольнике \(A(0,0)\), \(B(1,0)\), \(C(u,v)\), \(v\ne 0\), пусть \(O\) — центр описанной окружности, \(H\) — ортоцентр. Докажите, что \(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\).
Найдите \(O\) и используйте формулу \(H\left(u,\frac{u(1-u)}{v}\right)\).
Центр окружности имеет координаты \(O\left(\frac12,\frac{u^2+v^2-u}{2v}\right)\). Ортоцентр \(H\left(u,\frac{u(1-u)}{v}\right)\). Векторное равенство \(\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) эквивалентно \(H=A+B+C-2O\). Правая часть равна \((1+u,v)-\left(1,\frac{u^2+v^2-u}{v}\right)=\left(u,\frac{u-u^2}{v}\right)=H\). Равенство доказано.
Это сильная связка координат и векторов, полезная перед общей линией Эйлера.